vietasche Wurzelsätze

vietasche Wurzelsätze

 

[v- ; nach F. Viète], Gleichungen, die den Zusammenhang zwischen den Lösungen algebraischer Gleichungen und ihren Koeffizienten beschreiben. Sind x₁ und x₂ die Lösungen der quadratischen Gleichung x² + p x +q = 0, so ist x₁ + x₂ = —p und x₁ x₂ = q, und sind x₁, x₂ und x₃ die Lösungen der kubischen Gleichung x³ + p x² + q x + r = 0, so gilt

 

und x₁ x₂ x₃ = —r. Allgemein besitzt jede algebraische Gleichung n-ten Grades mit den Lösungen x₁. .., x_n nach dem Fundamentalsatz der Algebra die Produktdarstellung

 

und daraus ableitbar ist die Beziehung

 

wobei

 

das symmetrische Polynom vom Grad i der Lösungen x₁,. .., x_n ist; insbesondere ist